Question

在数列{a_n}，{b_n}是各项均为正数的等比数列，设．
（Ⅰ）数列{c_n}是否为等比数列？证明你的结论；
（Ⅱ）设数列{lna_n}，{lnb_n}的前n项和分别为S_n，T_n．若a₁=2，，求数列{c_n}的前n项和．

Answer

（Ⅰ）设|an|的公比为q1，|bn|的公比为q2，根据进而可得化简得进而可证明|cn|为等比数列．
（Ⅱ）根据数列{an}，{bn}是各项均为正数的等比数列，可推断数列{lnan}，{lnbn}为等差数列．进而可求得Sn和Tn代入，可求得q1，q2=16和b1=8．代入即可得到数列{cn}的通项公式，结果发现数列{cn}是以4为首项，4为公比的等比数列，进而根据等比数列的求和公式可得到答案．
【解析】
（Ⅰ）{cn}是等比数列．
证明：设{an}的公比为q1（q1＞0），{bn}的公比为q2（q2＞0），
则，故{cn}为等比数列．
（Ⅱ）数列{lnan}和{lnbn}分别是公差为lnq1和lnq2的等差数列．
由条件得，即．
故对n=1，可得，又a1=2，可得b1=8，
于是可变为
（2lnq1-lnq2）n2+（4lna1-lnq1-2lnb1+lnq2）n+（2lna1-lnq1）=0对任意的正整数n恒成立
于是
将a1=2代入得q1=4，q2=16，b1=8．
从而有．所以数列{cn}的前n项和为．