Question

关于x的不等式|x-1|-|x-2|≤a²+a-3的解集是空集，则a的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．（-1，0）
C．（-2，1）
D．（-∞，-1）

Answer

分析题目已知关于x的不等式|x-1|-|x-2|≤a2+a-3的解集是空集，即需要使得a2+a+1的最小值小于|x-1|-|x-2|的最小值即无解，故可设得f（x）=|x-1|-|x-2|，然后求其最小值，代入求解即可得到答案．
【解析】
设f（x）=|x-1|-|x-2|
当x＜1时，f（x）=-（x-1）+（x-2）=-1，
当x＞2，f（x）=（x-1）-（x-2）=1，
当1≤x≤2，f（x）=（x-1）+（x-2）=2x-3，故此时有-1≤f（x）=2x-3≤1．
综上所述f（x）=|x-1|-|x-2|的最小值为-1，
要使得关于x的不等式|x-1|-|x-2|≤a2+a+1的解集是空集，
只要使得a2+a+1的最小值小于f（x）=|x-1|-|x-2|的最小值即可．
即a2+a-3≤-1，a2+a-2≤0解得-2≤a≤1，
故答案选择C．