Question

设函数f（x）=x²+bln（x+1），
（1）若对定义域的任意x，都有f（x）≥f（1）成立，求实数b的值；
（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围．

Answer

（1）根据对定义域的任意x，都有f（x）≥f（1）成立知函数f（x）在定义域内的最小值为f（1），从而得到f′（1）=0即可
（2）要求函数f（x）在定义域上是单调函数，即要求f′（x）≥0或f′（x）≤0在（-1，+∞）上恒成立，然后分类讨论：当f′（x）≥0时，即2x2+2x+b≥0在（-1，+∞）上恒成立，即b≥-2x2-2x=恒成立；当f′（x）≤0时，2x2+2x+b≤0，即b≤-（2x2+2x）恒成立，因-（2x2+2x）在（-1，+∞）上没有最小值，故不符合题意
【解析】
（1）由x+1＞0得x＞-1
∴f（x）的定义域为（-1，+∞），
对x∈（-1，+∞），都有f（x）≥f（1），
∴f（1）是函数f（x）的最小值，故有f′（1）=0，
，∴，
解得b=-4．
（2）∵，
又函数f（x）在定义域上是单调函数，
∴f′（x）≥0或f′（x）≤0在（-1，+∞）上恒成立．
若f′（x）≥0，
∵x+1＞0，
∴2x2+2x+b≥0在（-1，+∞）上恒成立，
即b≥-2x2-2x=恒成立，由此得b≥；
若f′（x）≤0，
∵x+1＞0，
∴2x2+2x+b≤0，即b≤-（2x2+2x）恒成立，
因-（2x2+2x）在（-1，+∞）上没有最小值，
∴不存在实数b使f（x）≤0恒成立．
综上所述，实数b的取值范围是．
故答案为：（1）b=-4；（2）实数b的取值范围是．