Question

设函数f（x）=ax³+bx+c（a≠0）为奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+18y-7=0垂直，导函数f′（x）的最小值为12．
（1）求a，b，c的值；
（2）设，当x＞0时，求g（x）的最小值．

Answer

（1）先根据函数f（x）是奇函数可求出c的值，然后对函数f（x）进行求导根据导函数的最小值等于12可确定b的值，再由导数的几何意义可确定a的值．
（2）根据（1）确定函数f（x）的解析式，然后代入到函数g（x）中整理成g（x）=的形式，根据基本不等式可求出最小值．
【解析】
（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c，∴c=0，
又∵f′（x）=3ax2+b的最小值为12，∴b=12；
又直线x+18y-7=0的斜率为，因此，f'（1）=3a+b=18，∴a=2，
∴a=2，b=12，c=0为所求．
（2）由（1）得f（x）=2x3+12x，∴当x＞0时，=，
∴g（x）的最小值为．