Question

如图，椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，M、N是椭圆右准线上的两个动点，且．
（1）设C是以MN为直径的圆，试判断原点O与圆C的位置关系；
（2）设椭圆的离心率为，MN的最小值为，求椭圆方程．

Answer

（1）C是以MN为直径的圆，求出M，N的坐标，利用，判断，求得原点O在圆C的内部；
（2）设椭圆的离心率为，推出a=2c，利用基本不等式，通过MN的最小值为求出c，a，b，从而求出椭圆方程．
【解析】
（1）设椭圆的焦距为2c（c＞0），
则其右准线方程为x=，且F1（-c，0），F2（c，0）．
设，
则
．
因此
即．
于是，故∠MON为锐角．
所以原点O在圆C外．
（2）因为椭圆的离心率为，所以a=2c，
于是M（4c，y1）N（4c，y2），且
MN2=（y1-y2）2=y12+y22-2y1y2=|y1|2+|y2|2+2|y1y2|≥4|y1y2|=60c2．
当且仅当y1=-y2=或y2=-y1=时取“=”号，
所以（MN）min=2c=2，于是c=1，从而a=2，b=，
故所求的椭圆方程是．