Question

已知函数（x＞0，a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[1，8]上的最大值和最小值．

Answer

（1）化简f（x）得，求出函数的导数，然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求解．
（2）由（1）求出f（x）的单调区间，已知区间[1，8]，利用函数的单调性求出函数的最值．
【解析】
（1），
故
若a≥0，则f'（x）＞0，因此f（x）在（0，+∞）上是增函数．
若a＜0，则由f'（x）＞0得，
因此f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是．

（2）若a≥-4，则f'（x）＞0（x∈[1，8]），因此f（x）在[1，8]上是增函数．
那么f（x）在x∈[1，8]上的最小值是f（1）=a+1，最大值是f（8）=2a+16；
若a≤-32，则f'（x）＜0（x∈[1，8]），因此f（x）在[1，8]上是减函数．
那么f（x）在x∈[1，8]上的最小值是f（8）=2a+16，最大值是f（1）=a+1．
若-32＜a＜-4，则

所以f（x）在x∈[1，8]上的最小值是，
当f（1）=a+1≥f（8）=2a+16，
即-32＜a≤-15时，最大值是a+1；当-15＜a＜-4时，最大值是2a+16．