Question

已知f（x）=log_ax（a＞0，a≠1），设数列f（a₁），f（a₂），f（a₃），…，f（a_n）…是首项为4，公差为2的等差数列．
（I）设a为常数，求证：{a_n}成等比数列；
（II）设b_n=a_nf（a_n），数列{b_n}前n项和是S_n，当时，求S_n．

Answer

（I）先利用条件求出f（an）的表达式，进而求出{an}的通项公式，再用定义来证{an}是等比数列即可；
（II）先求出数列{bn}的通项公式，再对数列{bn}利用错位相减法求和即可．
证明：（I）f（an）=4+（n-1）×2=2n+2，
即logaan=2n+2，可得an=a2n+2．
∴==为定值．
∴{an}为等比数列．（5分）
（II）【解析】
bn=anf（an）=a2n+2logaa2n+2=（2n+2）a2n+2．（7分）
当时，．（8分）
Sn=2×23+3×24+4×25++（n+1）•2n+2 ①
2Sn=2×24+3×25+4×26++n•2n+2+（n+1）•2n+3 ②
①-②得-Sn=2×23+24+25++2n+2-（n+1）•2n+3（12分）
=-（n+1）•2n+3=16+2n+3-24-n•2n+3-2n+3．
∴Sn=n•2n+3．（14分）