Question

在中学阶段，对许多特定集合（如实数集、复数集以及平面向量集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容．现设集合A由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为⊙，对于A中的任意两个元素α=（a，b），β=（c，d），规定：α⊙β=（ad+bc，bd-ac）．
（1）计算：（2，3）⊙（-1，4）．
（2）请用数学符号语言表述运算⊙满足交换律，并给出证明．
（3）若“A中的元素I=（x，y）”是“对∀α∈A，都有α⊙I=I⊙α=α成立”的充要条件，试求出元素I．

Answer

（1）由已知α⊙β=（ad+bc，bd-ac），将：（2，3）⊙（-1，4）中参与运算的两个元素代入易得答案．
（2）根据已经学过的数、向量等的交换率，类比给出⊙运算的交换率，结合⊙的定义，不难证明．
（3）根据充要条件的定义，结合⊙的定义，不难得到一个关于I=（x，y）的方程组，解方程组，即可得到答案．
【解析】
（1）∵α⊙β=（ad+bc，bd-ac），
∴（2，3）⊙（-1，4）=（2×4-1×3，2×4+1×3）=（5，14）
（2）根据数和向量乘法交换率的形式，
类比利得到⊙运算的交换律为：α⊙β=β⊙α，
证明如下：
设α=（a，b），β=（c，d），
则α⊙β=（ad+bc，bd-ac），
β⊙α=（c，d）⊙（a，b）=（cb+da，db-ca）=（ad+bc，bd-ac）．
∴α⊙β=β⊙α．
（3）设A中的元素I=（x，y），由（2）知：
对∀α∈A，都有α⊙I=I⊙α=α成立，
只需I⊙a=a，即（x，y）⊙（a，b）=（a，b）⇔（bx+ay，by-ax）=（a，b）
①若a=（0，0），显然有I⊙α=α成立，
②若a≠（0，0），则，解得，
∴当对∀α∈A，都有α⊙I=I⊙α=α成立时，得I=（0，0）或I=（0，1），
易验证当I=（0，0）或I=（0，1）时，有对∀α∈A，都有α⊙I=I⊙α=α成立
∴I=（0，0）或I=（0，1）．