Question

已知|m|＜1，直线l₁：y=mx+1，l₂：x=-my+1，l₁与l₂相交于点P，l₁交y轴于点A，l₂交x轴于点B
（1）证明：l₁⊥l₂；
（2）用m表示四边形OAPB的面积S，并求出S的最大值；
（3）设S=f （m），求U=S+的单调区间．

Answer

（1）根据斜率之积等于-1，可得故l1⊥l2．
（2）根据四边形OAPB为圆内接四边形，由四边形OAPB的面积S等于两个直角三角形OAB和APB的面积之和，
三角形OAB的面积易求，把l1与l2相的方程联立方程组可解得点P坐标，再求出点P到 AB 的距离，APB的面积
可求．
（3）由函数的导数大于0，可得此函数在定义域内是增函数．
【解析】
（1）由题意知，m≠0，l1与l2的斜率分别为 m，，斜率之积等于-1，故l1⊥l2．
（2）由题意知，A（0，1），B（1，0），AB=，四边形OAPB为圆内接四边形（有一组对角互补且都是直角），
把l1与l2相的方程联立方程组可解得点P（，），AB 的方程为x+y-1=0，
点P到 AB 的距离为 =，
 由四边形OAPB的面积S等于两个直角三角形OAB和APB的面积之和，
∴S=×1×1+××=+=，
故 m=0 时，S有最大值为 1．
（3）U=S+=+（1+m2），|m|＜1，U的导数U′=+2m=2m（1-）＞0，
∴U 在其定义域（-1，1）内是单调增函数．