Question

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，下面结论错误的序号是     ．
①BD∥平面CB₁D₁；
②AC₁⊥BD；
③AC₁⊥平面CB₁D₁；
④异面直线AD与CB₁所成角为60°．

Answer

利用正方体的性质，利用线线平行的判定，线面平行、垂直的判定和性质，逐一分析研究各个选项的正确性．
【解析】
由正方体的性质得，BD∥B1D1，所以，BD∥平面CB1D1；故①正确．
由正方体的性质得 AC⊥BD，而AC是AC1在底面ABCD内的射影，由三垂线定理知，AC1⊥BD，故②正确．
由正方体的性质得 BD∥B1D1，由②知，AC1⊥BD，所以，AC1⊥B1D1，同理可证AC1⊥CB1，
故AC1垂直于平面CB1D1内的2条相交直线，所以，AC1⊥平面CB1D1 ，故③成立．
异面直线AD与CB1所成角就是BC与CB1所成角，故∠BCB1 为异面直线AD与CB1所成角，
等腰直角三角形BCB1 中，∠BCB1=45°，故④不正确．
故答案为：④．