Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD对角线的交点．求证：
（1）C₁O∥面AB₁D₁；
（2）面BDC₁∥面AB₁D₁．

Answer

（1）由题意连接A1C1，先证明A1ACC1是平行四边形得A1C1∥AC且A1C1=AC，再证AOC1O1是平行四边形，然后利用直线与平面平行的判定定理进行证明；
（2）因为AB∥CD∥D′C′，加上AB=CD=D′C′，可证ABC′D′是平行四边形，同理可证C′D∥平面AB′D′，从而求证．
证明：（1）连接A1C1，设A1C1∩B1D1=O1
连接AO1，∵ABCD-A1B1C1D1是正方体
∴A1ACC1是平行四边形
∴A1C1∥AC且A1C1=AC
又O1，O分别是A1C1，AC的中点，
∴O1C1∥AO且O1C1=AO
∴AOC1O1是平行四边形
∴C1O∥AO1，AO1⊂面AB1D1，C1O⊄面AB1D1
∴C1O∥面AB1D1；
（2）证明：是平行四边形，
∴⇒平面C′DB∥平面AB′D′．