Question

如图，E、F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点，沿EF将△AEF折起到△A′EF的位置，连接A′B、A′C，P为A′C的中点．
（1）求证：EP∥平面A′FB；
（2）求证：平面A′EC⊥平面A′BC；
（3）求证：AA′⊥平面A′BC．

Answer

（1）欲证EP∥平面A′FB关键在平面A′FB内找一直线与EP平行，由E、P分别为AC、A′C的中点，可得EP平行与面A′FB内一直线A′A；
（2）欲证平面A′EC⊥平面A′BC，即证BC⊥平面A′EC，根据面面垂直的判定定理可知一平面经过另一平面的垂线则这两个面垂直；
（3）欲证AA′⊥平面A′BC，即证AA′垂直平面A′BC内两条相交直线，易证A′A⊥A′C，BC⊥AA′．
证明：（1）
∵E、P分别为AC、A′C的中点，
∴EP∥A′A，又A′A⊂平面AA′B，EP⊄平面AA′B
∴即EP∥平面A′FB；
（2）∵BC⊥AC，EF⊥A′E，EF∥BC
∴BC⊥A′E，而AE与EC相交∴BC⊥平面A′EC
BC⊂平面A′BC
∴平面A′BC⊥平面A′EC；
（3）在△A′EC中，P为A′C的中点，∴EP⊥A′C，
在△A′AC中，EP∥A′A，∴A′A⊥A′C
由（2）知：BC⊥平面A′EC又A′A⊂平面A′EC
∴BC⊥AA′
∴A′A⊥平面A′BC．