Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB=2，F为CD的中点．
（1）求证：AF⊥平面CDE；
（2）求证：AF∥平面BCE；
（3）求四棱锥C-ABED的体积．

Answer

（1）欲证AF⊥平面CDE，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AF与平面CDE内两相交直线垂直，而AF⊥CD，AF⊥DE，CD∩DE=D，满足定理条件；
（2）取CE的中点G，连FG、BG，欲证AF∥平面BCE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AF与平面BCE内一直线平行即可，而AF∥BG，满足定理；
（3）取AD中点M，连接CM，而CM⊥平面ABED，则CM为四棱锥C-ADEB的高，根据体积公式V=CM•SABED求解即可．
【解析】
（1）证明：∵F为等边三角形CD边上的中点，
∴AF⊥CD，
∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，
∴AF⊥DE，
又CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE．
（2）证明：取CE的中点G，连FG、BG．∵F为CD的中点，
∴GF∥DE且GF=DE．
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB．
又AB=DE，∴GF=AB．
∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG．
∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE．
（3）取AD中点M，连接CM，
∵△ACD为等边三角形，则CM⊥AD，
∵DE⊥平面ACD，且DE⊂平面ABED，
∴平面ACD⊥平面ABED，
又平面ACD∩平面ABED=AD，∴CM⊥平面ABED，
∴CM为四棱锥C-ADEB的高，
∴V=CM•SABED=AF•SABED=．