Question

已知圆C：x²+y²+2x-4y+1=0外一点P，从P向圆C引切线，切点为A，B、O是原点．
（Ⅰ）当点P的坐标为（3，-2）时，求过A，B，P三点的圆的方程．
（Ⅱ）当∠AOP=∠PAO时，求使|AP|最小时点P的坐标．

Answer

（1）根据PQ⊥AP，PQ⊥BP可判断出P，Q，A，B共圆，PQ为直径，根据圆C的方程可求得圆心坐标，进而求得PQ的长度和中点坐标从而求得所求圆的圆心和半径，则圆的方程可得．
（2）设P（x，y），根据∠AOP=∠PAO可知|PA|=|PO|，PA是圆C的切线，进而可知CA⊥PA，利用勾股定理求得x和y的关系式，推断出点P的轨迹为一条直线，显然该直线与圆相离要求|AP|的最小值，即求|OP|的最小值，当OP⊥l时|OP|有最小值易知此时OP的斜率是-2进而可求得OP的方程，最后两直线方程联立求得点P的坐标．
【解析】
（1） 已知圆C：x2+y2+2x-4y+1=0则
（x+1）2+（y-2）2=4 设其圆心为 Q（-1，2）得到
PQ2=（3+1）2+（2+2）2=32
∵PQ⊥AP，PQ⊥BP
∴P，Q，A，B共圆，PQ为直径，
则 PQ 的中点 R（1，0） 为过A，B，P三点的圆的圆心
所以（x-1）2+y2=8 为过A，B，P三点的圆的方程
（2）将圆的方程化为标准式：
设P（x，y）
因∠AOP=∠PAO
故|PA|=|PO|
即|PA|2=|PO|2
因PA是圆C的切线
故CA⊥PA
故|PA|2=|PC|2-r2
故|PC|2-r2=|PO|2
即（x+1）2+（y-2）2-4=x2+y2
化简得：
2x-4y+1=0
易知P的轨迹是一条直线l
显然该直线与圆相离
要求|AP|的最小值，即求|OP|的最小值
显然当OP⊥l时|OP|有最小值
易知此时OP的斜率是-2
故OP：y=-2x
联立，解得P坐标为（-，）．