Question

已知数列{a_n}，{b_n}是各项均为正数的等比数列，设c_n=，n∈N^*
（Ⅰ）证明：数列{c_n}是等比数列，数列{lna_n}是等差数列．
（Ⅱ）设数列{lna_n}，{lnb_n}的前n项和分别是S_n，T_n．若a₁=2，=，求数列{c_n}的通项公式．
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，设d_n=，求数列{d_n}的前n项和．

Answer

（I）根据已知条件可设，要证明数列cn为等比数列只要证明；要证数列lnan为等差数列，只要证为常数
（II）利用（I）的条件可知数列lnanlnbn都为等差数列，代入等差数列的和公式整理可得，根据对应项相等可得p、q、b1，进而求出an，bn
（III）代入（II）中的条件整理可得，用裂项求和的方法可得结果．
【解析】
（1）设数列{an}、bn的公比分别为p、q（p＞0，q＞0），
则由题意可得，
∴，c1=a1•b1
所以数列cn以a1•b1为首项，以pq为公比的等比数列
又因为，
数列lnan以lna1为首项，以lnp为公差的等差数列
（2）由题意可得，
∴==
∴
∴
∴p=4，q=16，b1=8
∴an=2•4n-1=22n-1，bn=8•16n-1=24n-1
（III）由（II）可得
=
=
=
∴d1+d2+d3+…+dn
=
=