Question

已知函数
（Ⅰ）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）若x₁＜x₂，判断 f （x₁）和f （x₂）的大小，并给出证明．

Answer

（Ⅰ）先看函数的定义域是否关于原点对称，再看f（-x）与f（x）的关系，依据奇偶性的定义进行判断．
（Ⅱ）先证明f（x）在∈[0，+∞）上是增函数，再依据函数是个奇函数证明在∈（-∞，0）上也是增函数，
从而总有 f（x1）＜f（x2）．
（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域是（-∞，+∞），（2分）
∵（4分）
∴函数f（x）是奇函数（5分）

（Ⅱ）先探究函数f（x）的单调性；
（i）当0≤x1＜x2时
=
∵0≤x1＜x2∴1+x1＞0，1+x2＞0，x1-x2＜0
∴f （x1）＜f （x2），
∴当x∈[0，+∞）时，函数f（x）是增函数．（7分）
（ii）当x∈（-∞，0）时，由（Ⅰ）知，函数f（x）是奇函数，
∴当x∈（-∞，0）时，函数f（x）是增函数 （9分），则（i）当0≤x1＜x2，
f（x1）＜f（x2），（ii）当x1＜x2＜0，f （x1）＜f （x2），
（iii）当x1＜0≤x2，总有 f（x1）＜f（x2），（11分）
综上所述当x1＜x2时，总有 f（x1）＜f（x2）． （12分）