Question

已知函数y=f（x）是奇函数，在（0，+∞）内是减函数，且f（x）＜0，试问：F（x）=在（-∞，0）内单调性如何？并证明之

Answer

先设x1＜x2＜0，则-x1＞-x2＞0，再由f（x）在（0，+∞）内是减函数且f（x）＜0，得到f（-x1）＜f（-x2）＜0，再由奇函数
得到f（x1）＞f（x2）可得到是增函数．
【解析】
∴F（x）=在（-∞，0）上是增函数
证明：设x1＜x2＜0，则-x1＞-x2＞0
∵f（x）在（0，+∞）内是减函数且f（x）＜0，
∴f（-x1）＜f（-x2）＜0
∵函数y=f（x）是奇函数
∴-f（x1）＜-f（x2）＜0即f（x1）＞f（x2）＞0
∴F（x1）-F（x2）=
∴F（x）=在（-∞，0）上是增函数