Question

沿着正四面体OABC的三条棱、、的方向有大小等于1、2、3的三个力f₁、f₂、f₃．试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦．

Answer

要求试求此三个力的合力的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦．我们要结合向量模的求法及向量夹角的求法，由于本题中没有坐标，故求向量的模时，我们可以利用向量模的平方等于向量的平方来处理，而要注夹角的余弦值，则可以根据夹角公式，求出两个向量的数量积再除以两个向量的模即可求解．
【解析】
用、、分别代表棱、、上的三个单位向量，则1=，2=2，3=3，则=1+2+3=+2+3，
∴||2=（+2+3）•（+2+3）
=||2+4||2+9||2+4•b+6•+12•
=1+4+9+4||||cos＜，＞+6||||cos＜，＞+12||||cos＜，＞
=14+4cos60°+6cos60°+12cos60°
=14+2+3+6=25．
∴||=5，即所求合力的大小为5，
且cos＜，＞====．
同理，可得cos＜，＞=，cos＜，＞=．