Question

已知椭圆C的中心在原点，一个焦点，且长轴长与短轴长的比是．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；
（3）求△PAB面积的最大值．

Answer

（1）待定系数法求椭圆的方程．
（2）设出A、B坐标，利用一元二次方程根与系数的关系，求出A、B横坐标之差，纵坐标之差，从而求出AB斜率．
（3）设出AB直线方程，与椭圆方程联立，运用根与系数的关系求AB长度，计算P到AB的距离，计算△PAB面积，
使用基本不等式求最大值．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆C的方程为．
由题意，解得a2=4，b2=2．
所以，椭圆C的方程为．故点P（1，）
（Ⅱ）由题意知，两直线PA，PB的斜率必存在，设PB的斜率为k，
则PB的直线方程为．
由 得，．
设A（xA，yA），B（xB，yB），则，同理可得．
则，．
所以直线AB的斜率为定值．
（Ⅲ）设AB的直线方程为，由得 ．
由，得m2＜8．此时，．
由椭圆的方程可得点P（1，），根据点到直线的距离公式可得P到AB的距离为，
由两点间的距离公式可得  =，
故 == 
=≤×=．
因为m2=4使判别式大于零，所以当且仅当m=±2时取等号，所以△PAB面积的最大值为．