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已知抛物线C:y2=4x,直线l:y=kx+b与C交于A,B两点,O为坐标原点....

已知抛物线C:y2=4x,直线l:y=kx+b与C交于A,B两点,O为坐标原点.
(1)当k=1,且直线l过抛物线C的焦点时,求|AB|的值;
(2)当直线OA,OB的倾斜角之和为45°时,求k,b之间满足的关系式,并证明直线l过定点.
(1)根据抛物线方程求得焦点坐标,根据点斜式求得直线l的方程与抛物线方程联立,设A(x1,y1),B(x2,y2),根据韦达定理求得x1+x2和x1x2的值,进而根据两点间的距离公式求得|AB|的值; (2)把直线方程与抛物线方程联立消去x,根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2,设直线OA,OB的倾斜角分别为α,β,斜率分别为k1,k2,依题意可知α+β=45°,进而根据正切的两脚和公式可知其中,代入ky2-4y+4b=0求得b和k的关系式,此时使ky2-4y+4b=0有解的k,b有无数组把直线方程整理得k(x+4)=y-4推断出直线l过定点(-4,4). 【解析】 (1)抛物线C:y2=4x的焦点为(1,0) 由已知l:y=x-1,设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立,消y得x2-6x+1=0, 所以x1+x2=6,x1x2=1 = (2)联立,消x得ky2-4y+4b=0(*)(依题意k≠0) ,, 设直线OA,OB的倾斜角分别为α,β,斜率分别为k1,k2, 则α+β=45°,tan(α+β)=tan45°, 其中,, 代入上式整理得y1y2-16=4(y1+y2) 所以,即b=4k+4, 此时,使(*)式有解的k,b有无数组 直线l的方程为y=kx+4k+4,整理得k(x+4)=y-4 消去,即时k(x+4)=y-4恒成立, 所以直线l过定点(-4,4)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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