Question

设函数f（x）=lg（x+）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并给予证明；
（2）证明函数f（x）在其定义域上是单调增函数；

Answer

（1）根据题意先判断再用定义证明，证明时应先求出定义域并判断是否关于原点对称，再验证f（x）和f（-x）的关系，再由奇函数的定义得出结论；
（2）用定义证明函数单调性的五个步骤，本题是对真数作差比较大小，利用分子有理化进行变形在判断真数的大小，在转化到比较函数值得大小．
【解析】
（1）它是奇函数．
由得x∈R，
即所给函数的定义域为R，显然它关于原点对称，
又∵
∴函数f（x）是奇函数．
（2）证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=lg．
令t=x+，则t1-t2=（x1+）-（x2+）
=（x1-x2）+（-）=（x1-x2）+．

=
∵x1-x2＜0，+x1＞0，+x2，+＞0，
∴t1-t2＜0，∴0＜t1＜t2，∴0＜＜1，
∴f（x1）-f（x2）＜lg1=0，即f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在R上是单调增函数．