Question

已知向量a=（cosx+2sinx，sinx），b=（cosx-sinx，2cosx），设函数f（x）=a•b．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（II）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的集合．

Answer

（I）求出f（x）=a•b的表达式，然后化简为一个角的一个三角函数的形式，结合正弦函数的单调性，求出函数f（x）的单调递增区间；
（II）结合（I）利用正弦函数的有界性，求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的集合．
【解析】
（I）由已知可得f（x）=（cosx+2sinx）（cosx-sinx）+2sinxcosx（1分）
=cos2x-sinxcosx+2sinxcosx-2sin2x+2sinxcosx=cos2x+3sinxcosx-2sin2x
==（6分）
由得：（8分）
即函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．（9分）
（II）由（I）有，
∴．（10分）
所求x的集合为．（12分）