Question

已知函数f（x）=x²-2，g（x）=xlnx，，
（1）若对一切x∈（0，+∞），2g（x）≥ax-5-f（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（2）试判断方程有几个实根．

Answer

（1）若对一切x∈（0，+∞），2g（x）≥ax-5-f（x）恒成立，将g（x）代入化简得2xlnx+x2-ax+3≥0解出a要小于函数的最小值，利用导数讨论函数的增减性得到函数的最小值即可；
（2）将f（x）代入到方程中化简得k等于一个函数，求出函数的导函数=0时的x值，然后讨论函数的增减性得到函数的最大值，然后讨论k的范围决定方程解的个数．
【解析】
（1）若对一切x∈（0，+∞），2g（x）≥ax-5-f（x）恒成立，
即2xlnx+x2-ax+3≥0在x∈（0，+∞）恒成立，∴在x∈（0，+∞）恒成立，
令，则，F'（x）=0时x=1，F（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴Fmin=F（1）=4，∴只需a≤4．
（2）将原方程化为，
令，为偶函数，且G（0）=1，x＞0时，

∴G（x）max=+ln2，且x→+∞，y→-∞∴时，无解；或k=1时，三解；，四解；k＜1时，两解．