Question

已知二次函数f（x）=ax²+x．对于∀x∈（0，1]，|f（x）|≤1成立，求实数a的取值范围．

Answer

解法一：由|f（x）|≤1得-1≤f（x）≤1，从中分离出系数a，将其转化为恒成立问题可解．
解法二：本题还可以从a的正、负入手，考虑a＞0与a＜0两种情况，综合运用分类讨论思想与数形结合思想求解．
解法一：|f（x）|≤1⇔-1≤f（x）≤1⇔-1≤ax2+x≤1，x∈（0，1]=1 ①
①式等价于--≤a≤-在x∈（0，1]上恒成立．
设，则t∈[1，+∞），则有-t2-t≤a≤t2-t，所以只须，
⇒-2≤a≤0，又a≠0，
∴-2≤a＜0．
综上，所求实数a的取值范围是[-2，0）．
解法二：由|f（x）|≤1得-1≤ax2+x≤1，x∈（0，1]，
（1）当a＞0时，函数f（x）=ax2+x的图象开口方向向上，对称轴为，
且经过原点（0，0），只需f（1）=a+1≤1，即a≤0，矛盾!
（2）当a＜0时，函数f（x）=ax2+x的图象开口方向向下，对称轴为，
且经过原点（0，0），f（1）=a+1＜1，
（i）当，即a＜-1时，需满足
及f（x）min=f（1）=a+1≥-1，即；
（ii）当，即时，需满足，
即，
∴；
（iii）当，即，需满足f（x）max=f（1）=a+1≤1，这显然成立；
综上，实数a的取值范围是[-2，0）．