Question

如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=5，AD=4，AA₁=3，AB⊥AD，∠A₁AB=∠A₁AD=．
（Ⅰ）求证：顶点A₁在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上；
（Ⅱ）求这个平行六面体的体积．

Answer

（Ⅰ）如图利用Rt△A1NA≌Rt△A1MA证明A1M=A1N，OM=ON，即证明顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上；
（Ⅱ）求出底面ABCD的面积，和高A1O，然后可求几何体的体积．
【解析】
（Ⅰ）证：连接A1O，则A1O⊥底面ABCD．
作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连接A1M，A1N
由三垂线定理得A1M⊥AB，A1N⊥AD∵∠A1AM=∠A1AN，
∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA∴A1M=A1N∴OM=ON．
∴点O在∠BAD的平分线上
（Ⅱ）∵AM=AA1，
∴AO=AM．
又在职Rt△AOA1中，A1O2=AA12-AO2=，
∴A1O=．
∴平行六面体的体积V=．