Question

过点M（2，4）作两条互相垂直的直线，分别交x轴y轴的正半轴于A、B，若四边形OAMB的面积被直线AB平分，求直线AB的方程．

Answer

设A（a，0）、B（0，b）．得到直线AB，由题知MA⊥MB即直线MA与直线MB的斜率乘积为-1，得到a与b的关系式；又因为四边形OAMB的面积被直线AB平分得到M到直线AB与O到直线AB的距离相等得到a与b的关系式，两者联立求出a和b即可得到直线AB的方程．
【解析】
由题意，设A（a，0）、B（0，b）．则直线AB方程为+=1（a＞0，b＞0）
∵MA⊥MB，∴=-1，化简得a=10-2b．
∵a＞0，∴0＜b＜5．直线AB的一般式方程为bx+ay-ab=0
∴点M（2，4）到直线AB的距离为d1=．
又∵O点到直线AB的距离为d2=，∵四边形OAMB的面积被直线AB平分，
∴d1=d2，∴2b+4a-ab=±ab．
又∵a=10-2b．
解得或，
∴所求直线为2x+y-4=0或x+2y-5=0．