Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD．SD=2，，E是SD上的点．
（Ⅰ）求证：AC⊥BE；
（Ⅱ）求二面角C-AS-D的余弦值．

Answer

法一（Ⅰ）连接BD，证明AC垂直平面BDS内的两条相交直线SD，BD，即可证明AC⊥平面BDS，从而证明AC⊥BE；
（Ⅱ）过点D在平面SAD内作DF⊥AS于F，连接CF．说明∠CFD是二面角C-AS-D的平面角，通过解三角形CFD求二面角C-AS-D的余弦值．
法二：以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz．
（Ⅰ）求出，，计算•=0，即可证明AC⊥BE；
（Ⅱ）求平面ACS的法向量为，平面ASD的一个法向量为，计算，求出二面角C-AS-D的余弦值．
【解析】
法一（Ⅰ）连接BD．因为底面ABCD是正方形，
所以AC⊥BD．因为SD⊥平面ABCD，
AC⊂平面ABCD，所以AC⊥SD． （2分）
又因为SD∩BD=D，所以AC⊥平面BDS． （4分）
因为BE⊂平面BDS，所以AC⊥BE． （6分）

（Ⅱ）因为SD⊥平面ABCD，所以SD⊥CD．
因为底面ABCD是正方形，所以AD⊥CD．
又因为SD∩AD=D，所以CD⊥平面SAD，
所以CD⊥AS． （8分）
过点D在平面SAD内作DF⊥AS于F，连接CF．
由于，DF∩CD=D，所以AS⊥平面DCF．所以AS⊥CF．
故∠CFD是二面角C-AS-D的平面角． （10分）
在Rt△ADS中，SD=2，，可求得．
在Rt△CFD中，，，可求得．
所以．即二面角C-AS-D的余弦值为．（12分）

法二：（Ⅰ）如图以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz．
则D（0，0，0），A（，0，0），B（，，0），
C（0，，0），E（0，0，），S（0，0，2），
，=． （3分）
•=2-2+0=0，所以⊥．即AC⊥BE． （6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得=（，0，-2），=（0，，-2）．
设平面ACS的法向量为=（x，y，z），
则由n⊥，n⊥得，即
取，得． （9分）
易知平面ASD的一个法向量为=（0，，0）．
设二面角C-AS-D的平面角为θ．则．
即二面角C-AS-D的余弦值为． （12分）