Question

如图正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，，AB=2，若N为棱AB中点．
（1）求证：AC₁∥平面NB₁C；
（2）求A₁C₁与平面NB₁C所成的角正弦值．

Answer

（1）求证：AC1∥平面NB1C，连接BC1和CB1交于O点，连ON．只需证明NO∥AC1即可．
（2）求A1C1与平面NB1C所成的角正弦值，利用空间直角坐标系，求出相关向量，求数量积即可求解．
证明：（Ⅰ）连接BC1和CB1交于O点，连ON．
∵ABC-A1B1C1是正三棱柱，
∴O为BC1的中点．又N为棱AB中点，
∴在△ABC1中，NO∥AC1，又NO⊂平面NB1C，AC1⊄平面NB1C，
∴AC1∥平面NB1C；（6分）

（Ⅱ）建如图所示空间直角坐标系，
∵N（0，0，0），，，，，
∴，
设平面NB1C的法向量为n=（x，y，z），
∴，即，
令，得n=，
∵，
∴，
∴A1C1与平面NB1C所成的角正弦值为．（13分）