Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=a，AB=2a，E为A₁B₁的中点在．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
（II）求二面角D-BE-C的余弦值．

Answer

（I）由题意，因为是长方体所以AE⊥BC，又有AA1=AD=a，AB=2a，E为A1B1的中点，可以计算出AE⊥EB，进而证得线面垂直；
（II）有长方体的特点建立空间直角坐标系，利用向量的知识求解出二面角的大小．
【解析】
（Ⅰ）证明：∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC⊥侧面ABB1A1，AE⊂侧面ABB1A1，
∴AE⊥BC，（2分）
在△ABE中，AB=2a，a，
则有AB2=AE2+BE2，∴∠AEB=90°，∴AE⊥EB，
又BC∩EB=B∴AE⊥平面BCE（6分）

（II）以点D为坐标原点，建立如图所示的坐标系D-xyz．
则D（0，0，0），B（2a，a，0），E（a，a，a，），A（0，a，0），=（a，a，a），
设平面BDE的法向量为，则由=0，
得，，
令x=1，得，
又由（I）AE⊥平面BCE，=（a，0，a）为平面BCE的法向量，
cos＜
即所求二面角D-BE-C的余弦值为..