Question

已知函数f（x）定义域为{x|x≠0，x∈R}，对定义域内的任意x₁，x₂都有f=f（x₁）+f（x₂）且当x＞1时f（x）＞0，
（1）求f（1）与f（-1）值；
（2）求证：f（x）是偶函数；
（3）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数．

Answer

（1）根据抽象函数“凑”的原则，结合f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），分别令x1=x2=1，x1=-1，x2=1，即可得到答案；
（2）根据f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）及（1）中的结论，令x1=-1，易判断出f（-x2）与f（x2）的关系，再根据函数奇偶性的定义，即可得到答案．
（3）令x1＞1，结合已知中f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）且当x＞1时f（x）＞0，我们易根据函数单调性的定义得到结论．
【解析】
（1）令x1=x2=1
∵f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）
∴f（1）=2f（1）
∴f（1）=0（2分）
令x1=-1，x2=1
f（-1）=f（-1）+f（1）
∴f（-1）=0；（2分）
（2）证明：令x1=-1
∵f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）
∴f（x1•x2）=f（-x2）=f（-1）+f（x2）
又∵f（-1）=0
∴f（-x2）=f（x2）
故f（x）是偶函数；（3分）
（3）证明：令x1＞1，当x2∈（0，+∞）时，x1•x2＞x2
∵当x＞1时f（x）＞0
∴f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）＞f（x2）．
故f（x）在（0，+∞）上是增函数．（3分）