Question

设两非零向量e₁和e₂不共线．
（1）如果=e₁+e₂，=2e₁+8e₂，=3（e₁-e₂），求证：A、B、D三点共线；
（2）试确定实数k，使ke₁+e₂和e₁+ke₂共线；
（3）若|e₁|=2，|e₂|=3，e₁与e₂的夹角为60°，试确定k的值，使ke₁+e₂与e₁+ke₂垂直．

Answer

（1）先证明∥，再根据有公共点原理，证明三点共线
（2）ke1+e2和e1+ke2共线，运用实数λ，使得ke1+e2=λ（e1+ke2），即可求出
（3）运用向量数量积公式计算：由（ke1+e2）•（e1+ke2）=0，解出K的值
【解析】
（1）证明：=6（e1+e2）=6，
∴∥，与有公共点A．
∴A、B、D三点共线．
（2）∵ke1+e2和e1+ke2共线，
∴存在λ使ke1+e2=λ（e1+ke2），
即（k-λ）e1+（1-λk）e2=0．
∵e1与e2为非零不共线向量，
∴k-λ=0且1-λk=0．
∴k=±1．

（3）由（ke1+e2）•（e1+ke2）=0，
k|e1|2+（k2+1）e1•e2+k|e2|2=0，得
k×22+（k2+1）×2×3×cos60°+k×32=0
⇒4k+3k2+3+9k=0⇒3k2+13k+3=0，
∴k=．