Question

已知函数f（x）=x+，且f（1）=2．
（1）求m；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）函数f（x）在（1，+∞）上是增函数还是减函数？并证明．

Answer

（1）函数f（x）=x+，且f（1）=2，由此即可得到参数m的方程，求出参数的值．
（2）由（1）知f（x）=x+，故利用函数的奇偶性定义判断其奇偶性即可．
（3）本题做题格式是先判断出单调性，再进行证明，证明函数的单调性一般用定义法证明或者用导数证明，本题采取用定义法证明其单调性．
【解析】
（1）∵f（1）=2，∴1+m=2，m=1．
（2）f（x）=x+，f（-x）=-x-=-f（x），∴f（x）是奇函数．
（3）函数f（x）=+x在（1，+∞）上为增函数，证明如下
设x1、x2是（1，+∞）上的任意两个实数，且x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）=x1+-（x2+）=x1-x2+（-）
=x1-x2-=（x1-x2）．
当1＜x1＜x2时，x1x2＞1，x1x2-1＞0，从而f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）=+x在（1，+∞）上为增函数．