Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知向量=（c-2b，a），=（cosA，cosC）且⊥．
（1）求角A的大小；
（2）若=4，求边BC的最小值．

Answer

（1）根据正弦定理边角互化，我们易将已知条件中=（c-2b，a），=（cosA，cosC）且⊥，转化为关于A角的三角方程，解方程，即可求出A角大小．
（2）由（1）的中结论，代入余弦定理，结合基本不等式，可得两边和的最小值，代入即可求出边BC的最小值．
【解析】
（1）∵向量=（c-2b，a），=（cosA，cosC）且⊥．
∴（c-2b）cosA+acosC=0
∴sinCcosA+sinAcosC=2sinBcosA
∴sin（A+C）=2sinBcosA
∴sinB=2sinBcosA
∴cosA=
又∵A为三角形内角
∴A=；
（2）若=4，
即cb=8
由基本不等式可得
由余弦定理得a2=b2+c2-2bcsosA=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc=（b+c）2-24
又∵（b+c）2≥4bc=32
∴a2≥8，即
边BC的最小值为2．