Question

已知f（x）=x³+mx²-x+2（m∈R）．
（1）如果函数f（x）的单调递减区间为（，1），求函数f（x）的解析式；
（2）若f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈（0，+∞），不等式f′（x）≥2xlnx-1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）令f′（x）＜0已知函数f（x）的单调递减区间为（，1），所以和1为3x2+2mx-1=0的解，代入即可求出m得到解析式；（2）对任意x∈（0，+∞），不等式f′（x）≥2xlnx-1恒成立就是要求f′（x）的最小值都大于等于2xlnx-1即可，所以求出f′（x）的最小值即可得到m的范围．
【解析】
令f′（x）＜0得3x2+2mx-1＜0，函数f（x）的单调递减区间为（，1），
所以和1为3x2+2mx-1=0的解，代入求得m=-1，
则函数f（x）的解析式为f（x）=x3-x2-x+2；
（2）对任意x∈（0，+∞），不等式f′（x）≥2xlnx-1恒成立就是要求f′（x）的最小值都大于等于2xlnx-1
因为f′（x）=3x2+2mx-1，为开口向上的抛物线，有最小值，当x=时，f′（x）的最小值为-1
所以-1≥ln-1，解得m≥ln-1．