Question

某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如如图所示．（例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为）．
（1）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；
（2）若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量X，求X的概率分布．

Answer

（1）因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P1可以做出，路线A→C→F→B中遇到堵车的概率，路线A→E→F→B中遇到堵车的概率，进行比较得到结果．
（2）由题意知路线A→C→F→B中遇到堵车次数X可取值为0，1，2，3．结合变量对应的事件，写出变量的分布列和期望．
【解析】
（1）记路段MN发生堵车事件为MN，MN∈{AC，CD，BD，BF，CF，AE，EF}．
因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P1为
1-P（••）
=1-P（）P（）P（）
=1-[1-P（AC）][1-P（CD）][1-P（DB）]
=；
同理，路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P2为
1-P（••）=（小于）；
路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P3为
1-P（••）=（大于）．
显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择．
因此选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小．
（2）路线A→C→F→B中遇到堵车次数X可取值为0，1，2，3．
P（X=0）=P（••）=，
P（X=1）=P（AC••）+P（•CF•）+P（••FB）
=，
P（X=2）=P（AC•CF•）+P（AC•FB）+P（•CF•FB）
=，
P（X=3）=P（••）=．
∴X的概率分布为