Question

已知直线l：6x-5y-28=0交椭圆于M，N两点，B（0，b）是椭圆的一个顶点，且b为整数，
而△MBN的重心恰为椭圆的右焦点F₂．
（1）求此椭圆的方程；
（2）设此椭圆的左焦点为F₁，问在椭圆上是否存在一点P，使得∠F₂PF₁=60°？并证明你的结论．

Answer

（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），由M、N两点在椭圆上，代入椭圆的方程，由平方差法可求得M，N两点的对应坐标的和的关系，再由△MBN的重心恰为椭圆的右焦点F2，也可求得M，N两点的对应坐标的和，两者联立可求出a、b、c 的关系．再结合M、N在直线L上，可求出a、b、c 的值．
（2）假设存在，在△F2PF1中由余弦定理表示出cos∠F2PF1，再结合椭圆的定义和基本不等式即可求解．
解（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），
则b2x12+a2y12=a2b2，b2x22+a2y22=a2b2，
两式相减得①，
由，得x1+x2=3c，y1+y2=-b，代入①
得2b2-5bc+2c2=0⇒2b=c或b=2c②；
∵M、N在直线L上，得6（x1+x2）-5（y1+y2）=56⇒18c+5b=56③；
由②③解得（b为整数）：b=4，c=2，a2=20，
因此椭圆方程为：．
（2）证明：
=，
∴∠F1PF2＜60°，
∴使∠F1PF2=60°的点P不存在．