Question

旅行社为某旅游团包飞机去旅游，其中旅游社的包机费为15000元，旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算；若旅游团的人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若旅游团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，机票费每张减少10元，但旅游团的人数最多有75人．设旅游团的人数为x人，每张飞机票价为y元，旅行社可获得的利润为W元．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）写出W与x之间的函数关系式；
（3）当旅游团的人数为多少时，旅行社可获得的利润最大？最大利润为多少元？

Answer

（1）根据自变量x的取值范围，分0≤x≤30或30＜x≤75列出函数解析式即可；
（2）利用所有人的费用减去包机费就是旅行社可获得的利润，结合（1）中自变量的取值范围解答即可；
（3）利用（2）中的函数解析式，先对x的值进行分类讨论：当0≤x≤30时；当30＜x≤75时，分段求出函数的最大值，进一步结合自变量的取值范围得出原函数的最大值即可解决问题．
【解析】
（1）当0≤x≤30时，y=900；
当30＜x≤75时，y=900-10（x-30）=-10x+1200．
（2）当0≤x≤30时，W=900x-15000；
当30＜x≤75时，W=（-10x+1200）x-15000=-10x2+1200x-15000．
（3）当0≤x≤30时，W=900x-15000随x的增大而增大，
所以，当x=30时，W最大=900×30-15000=12000（元）；
当30＜x≤75时，W=-10x2+1200x-15000=-10（x-60）2+21000，
∵-10＜0，∴当x=60时，W最大=21000（元）；
∵21000＞12000，
∴当x=60时，W最大=21000（元）．
答：旅游团的人数为60人时，旅行社可获得的利润最大，最大利润为21000元．