Question

已知函数f（x）=x³+mx²-m²x+1（m为常数，且m＞0）有极大值9．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若斜率为-5的直线是曲线y=f（x）的切线，求此直线方程．

Answer

（I）求出导函数，求出导函数等于0的两个根，列出x，f′（x），f（x）的变化情况的表格，求出极大值，列出方程求出m的值．
（II）将（I）求出的m的值代入导函数，利用曲线在切点处的导数值是切线的斜率，令导数等于-5，求出x即切点横坐标，将横坐标代入f（x）求出切点坐标，利用直线方程的点斜式写出切线方程．
【解析】
（Ⅰ）f’（x）=3x2+2mx-m2=（x+m）（3x-m）=0，则x=-m或x=m，
当x变化时，f’（x）与f（x）的变化情况如下表：
 x  （-∞，-m） -m  （-m，）    （）
 f'（x） +  0 -   0 +
 f（x）   递增 极大值    递减  极小值    递增 

从而可知，当x=-m时，函数f（x）取得极大值9，
即f（-m）=-m3+m3+m3+1=9，∴m=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x3+2x2-4x+1，
依题意知f’（x）=3x2+4x-4=-5，∴x=-1或x=-．
又f（-1）=6，f（-）=，
所以切线方程为y-6=-5（x+1），或y-=-5（x+），
即5x+y-1=0，或135x+27y-23=0．