Question

已知函数f（x）=ax³-3x²+1-（a∈R且a≠0），试求函数f（x）的极大值与极小值．

Answer

先求f′（x）=0的值，发现需要讨论a的正负，分别判定在f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极大值点与极小值点，求出极值．
【解析】
由题设知a≠0，f′（x）=3ax2-6x=3ax（x-），令f′（x）=0得x=0或x=．
当a＞0时，随x的变化，f′（x）与f（x）的变化如下表：

∴f（x）极大值=f（0）=1-，
f（x）极小值=f（）=--+1．
当a＜0时，随x的变化，f′（x）与f（x）的变化如下表：

∴f（x）极大值=f（0）=1-，
f（x）极小值=f（）=--+1．
总之，当a＞0时，f（x）极大值=f（0）=1-，
f（x）极小值=f（）=--+1；
当a＜0时，f（x）极大值=f（0）=1-，
f（x）极小值=f（）=--+1．