Question

函数f（x）=x³+ax²+bx+c，曲线y=f（x）上以点P（1，f（1））为切点的切线方程为y=3x+1．
（1）若y=f（x）在x=-2时有极值，求f （x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，求y=f（x）在[-3，1]上最大值．

Answer

（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c求导数，利用导数几何意义结合切线方程及函数f（x）在x=-2时有极值即可列出关于a，b，c的方程，求得a，b，c的值，从而得到f （x）的表达式．
（2）先求函数的导数f'（x），通过f'（x）＞0，及f'（x）＜0，得出函数的单调性，进一步得出函数的极值即可．
【解析】
（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c求导数得f'（x）=3x2+2ax+b
过y=f（x）上点P（1，f（1））的切线方程为：y-f（1）=f'（1）（x-1）即y-（a+b+c+1）=（3+2a+b）（x-1）
故即
∵有y=f（x）在x=-2时有极值，故f′（-2）=0
∴-4a+b=-12…（3）
由（1）（2）（3）相联立解得a=2，b=-4，c=5
f（x）=x3+2x2-4x+5．
（2）f'（x）=3x2+2ax+b=3x2+4x-4=（3x-2）（x+2）
f（x）极大=f（-2）=（-2）3+2（-2）2-4（-2）+5=13f（1）=13+2×1-4×1+5=4
∴f（x）在[-3，1]上最大值为13．