Question

已知定义在R上的奇函数f（x）=x³+bx²+cx+d在x=±1处取得极值．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）试证：对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4成立；
（Ⅲ）若过点P（m，n），（m、n∈R，且|m|＜2）可作曲线y=f（x）的三条切线，试求点P对应平面区域的面积．

Answer

（I）先通过函数f（x）在R上是奇函数，得出f（0）=0确定d的值，再通过f（x）在x=±1处取得极值得出f′（1）=f′（-1）=0，进而求出a，b的值
（II）导函数在区间（-1，1）上f′（x）＜0，得出f（x）在区间（-1，1）上单调递减．进而求出函数的最大最小值．进而证明题设．
（III）设切点为M（x，y），求出切线方程．点p代入切线方程，因由三条切线，可推出关于x的方程有3个根，通过导函数求出m的值．在（0，2）求得p对应的面积，再通过对称性，得出答案．
【解析】
（I）由题意f（0）=0，
∴d=0，
∴f′（x）=3x2+2bx+c，又f′（1）=f′（-1）=0，
即，
解得b=0，c=-3．
∴f（x）=x3-3x；
（II）∵f（x）=x3-3x，f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1），
当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，
故f（x）在区间[-1，1]上为减函数，
∴fmax（x）=f（-1）=2，fmin（x）=f（1）=-2
对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，
∴|f（x1）-f（x2）|≤f（-1）-f（1）=4；
（III）设切点为M（x，y），
则点M的坐标满足y=x3-3x．
因f′（x）=3（x2-1），
故切线l的方程为：y-y=3（x2-1）（x-x），
∵P（m，n）∈l，∴n-（x3-3x）=3（x2-1）（m-x）
整理得2x3-3mx2+3m+n=0．
∵若过点P（m，n）可作曲线y=f（x）的三条切线，
∴关于x方程2x3-3mx2+3m+n=0有三个实根．
设g（x）=2x3-3mx2+3m+n，
则g′（x）=6x2-6mx=6x（x-m），
由g′（x）=0，得x=0或x=m．
由对称性，先考虑m＞0
∵g（x）在（-∞，0），（m，+∞）上单调递增，
在（0，m）上单调递减．
∴函数g（x）=2x3-3mx2+3m+n的极值点为x=0，或x=m
∴关于x方程2x3-3mx2+3m+n=0有三个实根的充要条件是，
解得-3m＜n＜m3-3m．
故0＜m＜2时，点P对应平面区域的面积

故|m|＜2时，所求点P对应平面区域的面积为2S，即8．