Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx，且f′（-1）=0．
（1）试用含a的代数式表示b；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）令a=-1，设函数f（x）在x₁、x₂（x₁＜x₂）处取得极值，记点M（x₁，f（x₁）），N（x₂，f（x₂））．证明：线段MN与曲线f（x）存在异于M，N的公共点．

Answer

（1）据求导法则求出导函数，代入已知条件得关系．
（2）令导数为0得两个根，分类讨论两个根大小判断根左右两边导数的符号，得函数单调性．
（3）由（2）求出极值点，由两点式求出直线方程，与曲线方程联立判断有无其他公共点．
【解析】
解法一：（1）依题意，得
f′（x）=x2+2ax+b．
由f′（-1）=1-2a+b=0得b=2a-1．
（2）由（1）得f（x）=x3+ax2+（2a-1）x，故f′（x）=x2+2ax+2a-1=（x+1）（x+2a-1）．
令f′（x）=0，则x=-1或x=1-2a．
①当a＞1时，1-2a＜-1．
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：

由此得，函数f（x）的单调增区间为（-∞，1-2a）和（-1，+∞），单调减区间为（1-2a，-1）．
②当a=1时，1-2a=-1．此时，f′（x）≥0恒成立，且仅在x=-1处f′（x）=0，故函数f（x）的单调增区间为R．
③当a＜1时，1-2a＞-1，同理可得函数f（x）的单调增区间为（-∞，-1）和（1-2a，+∞），单调减区间为（-1，1-2a）．
综上所述：当a＞1时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，1-2a）和（-1，+∞），单调减区间为（1-2a，-1）；
当a=1时，函数f（x）的单调增区间为R；
当a＜1时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，-1）和（1-2a，+∞），单调减区间为（-1，1-2a）．
（3）当a=-1时，得f（x）=x3-x2-3x．
由f′（x）=x2-2x-3=0，得x1=-1，x2=3．
由（2）得f（x）的单调增区间为（-∞，-1）和（3，+∞），单调减区间为（-1，3），
所以函数f（x）在x1=-1，x2=3处取得极值．故M（-1，），N（3，-9）．
所以直线MN的方程为y=-x-1．
由得x3-3x2-x+3=0．
令F（x）=x3-3x2-x+3．
易得F（0）=3＞0，F（2）=-3＜0，而F（x）的图象在（0，2）内是一条连续不断的曲线，
故F（x）在（0，2）内存在零点x，这表明线段MN与曲线f（x）有异于M，N的公共点．
解法二：（1）同解法一．
（2）同解法一．
（3）当a=-1时，得f（x）=x3-x2-3x．
由f′（x）=x2-2x-3=0，得x1=-1，x2=3．
由（2）得f（x）的单调增区间为（-∞，-1）和（3，+∞），单调减区间为（-1，3），所以函数f（x）在x1=-1，x2=3处取得极值，
故M（-1，），N（3，-9）．
所以直线MN的方程为y=-x-1．
由x3-3x2-x+3=0．
解得x1=-1，x2=1，x3=3．
∴，，
所以线段MN与曲线F（x）有异于M，N的公共点（1，-）．