Question

对于函数f（x），若存在x∈R，使f（x）=x成立，则称x为f（x）的不动点．已知函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0）．
（1）当a=1，b=-2时，求f（x）的不动点；
（2）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．

Answer

（1）将a、b代入函数，根据条件“若存在x∈R，使f（x）=x成立，则称x为f（x）的不动点”建立方程解之即可；
（2）对任意实数b，f（x）恒有两个相异不动点转化成对任意实数b，ax2+（b+1）x+b-1=x恒有两个不等实根，再利用判别式建立a、b的不等关系，最后将b看成变量，转化成关于b的恒成立问题求解即可．
【解析】
（1）当a=1，b=-2时，f（x）=x2-x-3=x⇔x2-2x-3=0⇔（x-3）（x+1）=0⇔x=3或x=-1，
∴f（x）的不动点为x=3或x=-1．
（2）对任意实数b，f（x）恒有两个相异不动点
⇔对任意实数b，ax2+（b+1）x+b-1=x即ax2+bx+b-1=0恒有两个不等实根
⇔对任意实数b，△=b2-4a（b-1）＞0恒成立
⇔对任意实数b，b2-4ab+4a＞0恒成立
⇔△′=（4a）2-4×4a＜0
⇔a2-a＜0
⇔0＜a＜1．
即a的取值范围是0＜a＜1．