Question

已知正项数列{a_n}的前n和为S_n，且是与（a_n+1）²的等比中项．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）若，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n；
（3）在（2）的条件下，是否存在常数λ，使得数列为等比数列？若存在，试求出λ；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由已知条件可得，利用可把已知条件转化为an-an-1=2，从而可证．
（2）由（1）代入可得，用“乘公比错位相减”求数列的和．
（3）假设存在常数λ，使得数列为等比数列⇒，结合等比的通项公式可得，从而可求λ．
【解析】
（1）∵，∴，∴a1=1（an＞0）
当n≥2时，，∴（an+an-1）（an-an-1-2）=0
∵an＞0，
∴an-an-1=2，
∴{an}为等差数列．（4'）
（2）由（1）知，{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴an=2n-1
∴，①
，①
②
①-②得：
∴（9'）
（3）∵
易知，当λ=-3时，数列为等比数列．（13'）