Question

已知函数f（x）=ln（2x-1）+ax²-3x在x=1处取得极值．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求证：∀x∈（1，3]，m∈（0，+∞），．

Answer

（1）求出导函数f′（x），令f′（1）=0，求出a值；将a的值代入f′（x）中；令f′（x）＞0求出递增区间，令f′（x）＜0，求出递减区间．
（2）求出f（x）的极大值与端点值求出f（x）在（1，3]的最大值；利用基本不等式求出的最小值，
得到的最小值大于f（x）的最大值，得证．
【解析】
（1）f′（x）=+2ax-3，由f′（1）=0，得a=．（4分）
∴f（x）=ln（2x-1）+，f/（x）=，
有图可知函数f（x）单调区间为
增区间为：，减区间为：（8分）

（2）由f（x）在递增，在递减．在x=1时取得极大值
又f（3）=ln5-f（3）=ln5-f（3）=ln5-，-
所以在∀x∈（1，3]，f（x）＜-
又m∈（0，+∞），-4≥2-4=-2，（当m=1时取等号）
即-4的最小值为-2，-2＞-
∴∀x∈（1，3]，f（x）＜-4恒成立．