Question

已知函数f（x）=
（1）当x≥1时，证明：不等式f（x）≤x+lnx恒成立．
（2）若数列{a_n}满足a₁=，a_n+1=f（a_n），b_n=，n∈N⁺，证明数列{b_n}是等比数列，并求出数列{b_n}、{a_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若c_n=a_n•a_n+1•b_n+1（n∈N⁺），证明：c₁+c₂+c₃+…c_n＜

Answer

（1）因为x≥1，求出f（x）-x得到其小于等于0，得到lnx大于等于0，所以当x≥1时，f（x）≤x+lnx恒成立；
（2）把an代入到f（x）中化简得到an与bn的通项公式即可；
（3）根据an与bn的通项公式和cn=an•an+1•bn+1得到cn的通项公式，化简得到c1+c2+c3+…cn＜即可．
【解析】
（1）∵x≥1得f（x）-x=-x==≤0，
而x≥1时，lnx≥0
∵x≥1时，f（x）-x≤lnx
∴当x≥1时，f（x）≤x+lnx恒成立
（2）a1=，an+1=f（an），bn=-1，n∈N+∴an+1=得=+
∴a1=，an+1=f（an），bn=-1，n∈N+
∴====（n∈N+）
又b1=-1=∴{bn}是首项为，公比为的等比数列，其通项公式为bn=
又a1=，an+1=f（an），bn=-1，n∈N+
∴an===（n∈N+）
（3）cn=an•an+1•bn+1=××=×=-
∴c1+c2+c3+…+cn=（-）+（-）+…+（-）=-＜