Question

设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为2，求圆的方程．

Answer

设出圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，由圆上的点关于直线的对称点还在圆上得到圆心在这条直线上，设出圆心坐标，代入到x+2y=0中得到①；把A的坐标代入圆的方程得到②；由圆与直线x-y+1=0相交的弦长为2，利用垂径定理得到弦的一半，圆的半径，弦心距成直角三角形，利用勾股定理得到③，三者联立即可求出a、b和r的值，得到满足题意的圆方程．
【解析】
设所求圆的圆心为（a，b），半径为r，
∵点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点A′仍在这个圆上，
∴圆心（a，b）在直线x+2y=0上，
∴a+2b=0，①
（2-a）2+（3-b）2=r2．②
又直线x-y+1=0截圆所得的弦长为2，
圆心（a，b）到直线x-y+1=0的距离为d==，
则根据垂径定理得：r2-（）2=（）2③
解由方程①、②、③组成的方程组得：
或
∴所求圆的方程为（x-6）2+（y+3）2=52或（x-14）2+（y+7）2=244．