Question

直线y=kx与圆x²+y²-6x-4y+10=0相交于两个不同点A、B，当k取不同实数值时，求AB中点的轨迹方程．

Answer

法一为参数法，适当引入参数，设出中点坐标，通过联立方程组，利用韦达定理，再消去参数得所求轨迹；
法二为“差分法”，设出A（x1，y1），B（x2，y2），代入圆的方程，作差，利用中点公式，结合直线的斜率，消去参数求中点轨迹方程．
【解析】
法一：由
消去y，得（1+k2）x2-（6+4k）x+10=0．
设此方程的两根为x1、x2，AB的中点坐标为P（x，y），
则由韦达定理和中点坐标公式，得x===．①
又点P在直线y=kx上，
∴y=kx．
∴k=．②
将②代入①，得x=（x≠0），整理得x2+y2-3x-2y=0．
故轨迹是圆x2+y2-3x-2y=0位于已知圆内的部分．
解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），则
x12+y12-6x1-4y1+10=0，①
x22+y22-6x2-4y2+10=0，②
①-②，得（x12-x22）+（y12-y22）-6（x1-x2）-4（y1-y2）=0．
设AB的中点为（x，y），则x1+x2=2x，y1+y2=2y．
代入上式，有2x（x1-x2）+2y（y1-y2）-6（x1-x2）-4（y1-y2）=0，
即（2x-6）（x1-x2）+（2y-4）（y1-y2）=0．
∴=-=-k．③
又∵y=kx，④
由③④得x2+y2-3x-2y=0．
故所求轨迹为已知圆内的一段弧．