Question

设数列{a_n}满足：，a_n＞0．
（1）求{a_n}的表达式；
（2）将数列{a_n}依次按1项，2项，3项循环地分为（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇），（a₈，a₉），（a₁₀，a₁₁，a₁₂），
…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₂₀₁₀的值；
（3）如果将数列{a_n}依次按1项，2项，3项，…，m（m≥3）项循环；分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？

Answer

（1）由：，可用an与Sn的关系求解；
（2）先由数列{an}将（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7），（a8，a9），（a10，a11，a12），转化为（2），（4，6），（8，10，12），（14），（16，18），（20，22，24），按照每一次循环记为一组．由于每一个循环含有3个括号的规律抽象出b3，b6，b8，，b2010，组成一个首项为b3，公差为36的等差数列．
（3）由“提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例）”即研究：当n是m的整数倍时，求bn．按照（2）的思路解决．
【解析】
（1）当n=1时，，解得a1=2，
当n≥2时，，整理得（an+an-1-2）（an-an-1-2）=0，
所以an-an-1=2，或an+an-1=2（不合题意，舍去，否则a2n=0与已知矛盾），
∴数列{an}是等差数列，且公差为2，首项a1=2，从而an=2n．（5分）
（2）数列{an}依次按1项，2项，3项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14），（16，18），（20，22，24），，每一次循环记为一组．由于每一个循环含有3个括号，故b2009是第670组中第2个括号内各数之和．
由分组规律知，b3，b6，b8，，b2010，组成一个首项为b3=8+10+12=30，公差为d=36的等差数列．所以b2010=30+（670-1）×36=24114．（10分）
（3）当n是m的整数倍时，求bn的值．
数列{an}依次按1项、2项、3项，，m项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），，（m2-m+2，m2-m+4，m2-m+6，，m2+m）；（m2+m+2）（m2+m+4，m2+m+6），，（2m2+2，2m2+4，，2m2+2m），（2m2+2m+2），
第m组，第2m组，，第km（k∈N*）组的第1个数，第2个数，，第m个数分别组成一个等差数列，其首项分别为m2-m+2，m2-m+4，m2-m+6，，m2+m公差均为m（m+1）
则第m组、第2m组，，第km组，的各数之和也组成一个等差数列，其公差为m2（m+1）
第m组的m个数之和为
∴当n=km时，bn=bkm=m3+m+（k-1）m2（m+1）．（16分）