Question

已知函数f（x）=x²+ax，且对任意的实数x都有f（1+x）=f（1-x）成立．
（1）求实数a的值；
（2）利用单调性的定义证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．

Answer

（1）充分利用题中条件：“f （1+x）=f （1-x）”，代入计算结合两式恒等即可求得实数 a的值．
（2）欲证明证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，即要证明如果对于属于[1，+∞）区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时都有f（x1）＜f（x2）．那么就说f（x）在 这个区间上是增函数．
【解析】
（1）由f（1+x）=f（1-x）得，
（1+x）2+a（1+x）=（1-x）2+a（1-x），
整理得：（a+2）x=0，
由于对任意的x都成立，∴a=-2．
（2）根据（1）可知f（x）=x2-2x，下面证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．
设x1＞x2≥1，则f（x1）-f（x2）=（x12-2x1）-（x22-2x2）
=（x12-x22）-2（x1-x2）
=（x1-x2）（x1+x2-2）
∵x1＞x2≥1，则x1-x2＞0，且x1+x2-2＞2-2=0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
故函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．